lösa ett linjärt system med matriser med Gaussisk eliminering-matriser

lösa ett linjärt system med matriser med Gaussisk eliminering

Efter några lektioner där vi upprepade gånger har nämnt att vi täcker grunderna som behövs för att senare lära sig att lösa system av linjära ekvationer, har tiden kommit för vår lektion att fokusera på den fullständiga metoden att följa för att hitta lösningarna för sådana system.,

Vad är Gaussisk eliminering

Gaussisk eliminering är namnet på den metod vi använder för att utföra de tre typerna av matrisradoperationer på en augmented matrix som kommer från ett linjärt system av ekvationer för att hitta lösningarna för ett sådant system. Denna teknik kallas också radreduktion och består av två steg: framåtriktad eliminering och tillbaka substitution.

dessa två steg för Gaussisk elimineringsmetod differentieras inte av de operationer du kan använda genom dem, utan av resultatet de producerar., Det framåtriktade elimineringssteget avser den radminskning som krävs för att förenkla matrisen i fråga i sin echelonform. Ett sådant stadium har till syfte att visa om systemet med ekvationer som avbildas i matrisen har en unik möjlig lösning, oändligt många lösningar eller bara ingen lösning alls. Om det konstateras att systemet inte har någon lösning, så finns det ingen anledning att fortsätta raden minska matrisen genom nästa steg.

om det är möjligt att få lösningar för de variabler som är involverade i det linjära systemet, utförs den gaussiska elimineringen med back substitutionssteget., Detta sista steg kommer att producera en reducerad echelon form av matrisen som i sin tur ger den allmänna lösningen på systemet med linjära ekvationer.,

de gaussiska elimineringsreglerna är desamma som reglerna för de tre elementära radoperationerna, med andra ord kan du algebraiskt arbeta på raderna i en matris på följande tre sätt (eller kombination av):

  1. byta två rader
  2. multiplicera en rad med en konstant (vilken konstant som inte är noll)
  3. lägga till en rad till en annan rad

och så lösa ett linjärt system med matriser att använda gaussisk eliminering råkar vara en strukturerad, organiserad och ganska effektiv metod.,

hur man gör Gaussisk eliminering

det är verkligen inte en etablerad uppsättning gaussiska elimineringssteg att följa för att lösa ett system med linjära ekvationer, handlar om matrisen du har i dina händer och de nödvändiga radoperationerna för att förenkla den.,”539b2eeed8″>

ekvation 3: Radreducering (tillämpning av Gaussisk elimineringsmetod till) den augmented matrix

  • resulterar i matrisen:

  • resulterar i matrisen:


    ekvation 4: reducerad matris i sin echelonform
  • Observera att vi vid denna tidpunkt kan observera att detta system med linjära ekvationer är lösligt med en unik lösning för var och en av dess variabler. – herr talman!, Vad vi har utfört hittills är det första steget i radminskning: framåtriktad eliminering. Vi kan fortsätta att förenkla denna matris ännu mer (vilket skulle ta oss till andra etappen av Back substitution)men vi behöver verkligen inte eftersom systemet är lätt att lösa., Således tittar vi på det resulterande systemet för att lösa det direkt:

    • ekvation 5: resulterande linjära system av ekvationer för att lösa

    från denna uppsättning kan vi automatiskt Observera att värdet av variabeln Z är: Z=-2.,/li>

  • tillämpa värdena för y och z till den första ekvationen

    ekvation 6: lösa det resulterande linjära ekvationssystemet
  • och den slutliga lösningen för systemet är:

    ekvation 7: slutlig lösning på systemet med linjära ekvationer till exempel 1
  • fler Gauss elimineringsproblem har lagts till i den här lektionen i sitt sista avsnitt., Se till att arbeta igenom dem för att träna.

    skillnad mellan Gaussisk eliminering och gauss jordan eliminering

    skillnaden mellan Gaussisk eliminering och Gaussisk Jordan eliminering är att man producerar en matris i rad echelon form medan den andra producerar en matris i rad reducerad echelon form. En rad echelon formmatris har en övre triangulär komposition där alla noll rader är längst ner och ledande termer är alla till höger om den ledande termen från raden ovan., Minskad echelon form går utöver genom att förenkla mycket mer (ibland till och med nå formen av en identitetsmatris).

    ekvation 8: skillnad mellan echelon form och rad echelon form

    historien om gaussisk eliminering och dess namn är ganska intressant, du kommer bli förvånad över att veta att namnet ”gaussian” hänfördes till denna metod av misstag under det senaste århundradet., I verkligheten algoritmen för att samtidigt lösa ett system av linjära ekvationer med matriser och rad minskning har visat sig vara skriven i någon form i gamla kinesiska texter som daterar till redan före vår tid. Sedan i slutet av 1600-talet Isaac Newton sätta ihop en lektion om det för att fylla upp något han ansåg som ett tomrum i algebra böcker. Efter att namnet ”Gaussian” redan hade etablerats på 1950-talet antogs Gaussian-Jordan-termen när geodesisten W. Jordan förbättrade tekniken så att han kunde använda sådana beräkningar för att bearbeta sina observerade landmätningsdata., Om du vill fortsätta läsa om den fascinerande historien om matematiker Gaussisk eliminering tveka inte att klicka på länken och läsa.

    det finns verkligen ingen fysisk skillnad mellan Gaussisk eliminering och Gauss Jordan eliminering, båda processerna följer exakt samma typ av radoperationer och kombinationer av dem, deras skillnad ligger på de resultat de producerar., Många matematiker och lärare runt om i världen kommer att hänvisa till Gaussisk eliminering vs Gauss Jordan eliminering som metoderna för att producera en echelon formmatris vs en metod för att producera en reducerad echelon formmatris, men i verkligheten talar de om de två stadierna av radminskning som vi förklarade på den allra första delen av denna lektion (framåtriktad eliminering och tillbaka substitution), och så tillämpar du bara radoperationer tills du har förenklat matrisen i fråga., Om du anländer till echelon-formuläret kan du vanligtvis lösa ett system med linjära ekvationer med det (fram till här är det vad som skulle kallas Gaussisk eliminering). Om du behöver fortsätta förenklingen av sådan matris för att få direkt den allmänna lösningen för systemet med ekvationer du arbetar med, för det här fallet fortsätter du bara att ro-arbeta på matrisen tills du har förenklat den till reducerad echelonform (det skulle vara vad vi kallar Gauss-Jordan-delen och som också kan betraktas som svängbar Gaussisk eliminering).,

    Vi kommer att lämna den omfattande förklaringen på radreducering och echelon former för nästa lektion, för nu måste du veta att, om du inte har en identitetsmatris på vänster sida av den augmented matrix du löser (i vilket fall du inte behöver göra något för att lösa systemet med ekvationer relaterade till matrisen), kommer Gaussian elimination method (regular row reduction) alltid att användas för att lösa ett linjärt system av ekvationer som har transkriberats som en matris.,

    Gaussian elimination examples

    som vårt sista avsnitt, låt oss arbeta igenom några fler övningar på Gaussian elimination (row reduction) så att du kan få mer övning på denna metod. Under många framtida lektioner i denna kurs för linjär Algebra, kommer du att upptäcka att rad minskning är ett av de viktigaste verktygen som finns när man arbetar med matrisekvationer. Se därför till att du förstår alla steg som är involverade i lösningen för nästa problem.,ear equations into an augmented matrix we obtain the matrix equation:

    Equation 10: Resulting augmented matrix

  • Equation 11: Row reducing the augmented matrix
  • We can clearly see from the resulting matrix that −y=−5-y=-5 \; −y=−5 meaning that y=5y=5 \; y=5 .,sing Gaussian elimination:
    ekvation 14: system med linjära ekvationer med tre variabler

  • för detta system vet vi att vi kommer att få en augmented matrix med tre rader (eftersom systemet innehåller tre ekvationer) och tre kolumner till vänster om den vertikala linjen (eftersom det finns tre olika variabler)., I det här fallet kommer vi att gå direkt in i radreduceringen, och så är den första matrisen du kommer att se på denna process den du får genom att transkribera systemet med linjära ekvationer till en augmented matrix.,

    • ekvation 15: rad reducerar den augmented matrisen

    lägg märke till hur vi direkt kan berätta att variabeln Z är lika med noll för detta system eftersom den tredje raden i den resulterande matrisen visar ekvationen-9Z = 0., Vi använder den kunskapen och kontrollerar den andra raden i matrisen som skulle ge ekvationen 2Y-6z = 0, plugga värdet av z = 0\, i den ekvationen resulterar i y\, också vara noll. Således ersätter vi slutligen båda värdena för y och z\ , i ekvationen som härrör från matrisens första rad: x + 4y + 3z = 1, eftersom både y och z \ är noll, då ger detta oss x = 1.,

  • vi transkriberar det linjära systemet som en augmented matrix och sedan startar vi den gaussiska elimineringsprocessen:
    ekvation 18: rad minska den augmented matrix
  • från vilken vi kan se att den sista raden ger ekvationen: 6z = 3 och därför Z = 1/2.,:

    Equation 21: System of linear equations with two variables

  • Transcribing the linear system as an augmented matrix and row reducing:
    Equation 22: Row reducing the augmented matrix
  • Which automatically tells us y = 8., Och så, att ersätta detta värde i ekvationen från den första raden får vi: 4x-5y = 4x – 5(8) = 4x-40 =-6 4x = 34 \, och därför är värdet på x: x = 172\frac{\small17}{\small2} 217 ., ID=”1fd4b2067c”>

    ekvation 24: System med linjära ekvationer med tre variabler

  • konvertera systemet med ekvationer till en augmented matrix och sedan rad minska:
    ekvation 25: rad minska den augmented matrix
  • från den tredje raden i den resulterande matrisen vet vi att Z = 3.,Gcaption>ekvation 26: lösning för x och y
  • och så är den slutliga lösningen på systemet med linjära ekvationer:
    ekvation 27: slutlig lösning på systemet med linjära ekvationer
    ekvation 27: slutlig lösning på systemet med linjära ekvationer
  • för att slutföra vår lektion för idag har vi en länkrekommendation som kompletterar dina studier: Gaussisk eliminering en artikel som innehåller lite extra information om Row reduction, inklusive en introduktion till ämnet och några fler exempel., Som vi nämnde tidigare, var redo att fortsätta använda radminskning för nästan hela resten av kursen i linjär Algebra, så vi ser dig i nästa lektion!

    Lämna ett svar

    Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *