het Oplossen van een lineair stelsel met matrices met behulp van Gaussische eliminatie – Matrices

het Oplossen van een lineair stelsel met matrices met behulp van Gaussische eliminatie

Na een paar lessen die we hebben herhaaldelijk gezegd dat we behandelen de basisprincipes die nodig zijn om later te leren hoe het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen, de tijd is gekomen voor onze les om zich te concentreren op de volledige methodologie te volgen om de oplossingen te vinden voor dergelijke systemen.,

Wat is Gaussiaanse eliminatie

Gaussiaanse eliminatie is de naam van de methode die we gebruiken om de drie types van matrix rij operaties uit te voeren op een augmented matrix afkomstig van een lineair stelsel van vergelijkingen om de oplossingen voor een dergelijk systeem te vinden. Deze techniek wordt ook wel rij reductie genoemd en bestaat uit twee fasen: voorwaartse eliminatie en terug substitutie.

deze twee stappen van de Gaussiaanse eliminatiemethode worden niet onderscheiden door de bewerkingen die u kunt gebruiken, maar door het resultaat dat ze produceren., De voorwaartse eliminatiestap verwijst naar de rijreductie die nodig is om de matrix in kwestie te vereenvoudigen in zijn echelon-vorm. Een dergelijk stadium heeft als doel aan te tonen of het stelsel van vergelijkingen afgebeeld in de matrix een unieke mogelijke oplossing heeft, oneindig veel oplossingen of gewoon helemaal geen oplossing. Als gevonden dat het systeem heeft geen oplossing, dan is er geen reden om rij te blijven verminderen van de matrix door de volgende fase.

indien oplossingen kunnen worden gevonden voor de variabelen in het lineaire systeem, dan wordt de Gaussiaanse eliminatie met back substitutiefase uitgevoerd., Deze laatste stap zal een gereduceerde echelon vorm van de matrix produceren die op zijn beurt de algemene oplossing biedt voor het systeem van lineaire vergelijkingen.,

De Gaussische eliminatie regels zijn hetzelfde als de regels voor de drie elementaire rij-operaties, met andere woorden, u kunt algebraically werken op de rijen van een matrix in de volgende drie manieren (of combinatie van):

  1. Verwisselen van twee rijen
  2. het Vermenigvuldigen van een rij met een constante (constante die is niet nul)
  3. het Toevoegen van een rij bij een andere rij

En zo, het oplossen van een lineair stelsel met matrices met behulp van Gaussische eliminatie gebeurt om een gestructureerd, georganiseerd en zeer efficiënte methode.,

hoe Gaussiaanse eliminatie te doen

het is echt geen gevestigde set van Gaussiaanse eliminatie stappen te volgen om een systeem van lineaire vergelijkingen op te lossen, is alles over de matrix die je in je handen hebt en de noodzakelijke rij operaties om het te vereenvoudigen.,”539b2eeed8″>

Vergelijking 3: Rij het verminderen van (de toepassing van de Gaussische eliminatie methode) de augmented matrix

  • wat Resulteert in de matrix:

    Vergelijking 4: de Gereduceerde matrix in de echelon vorm:
  • Merk op dat op dit punt we kunnen zien dat dit systeem van lineaire vergelijkingen op te lossen met een unieke oplossing voor elk van de variabelen., Wat we tot nu toe hebben gedaan is de eerste fase van rij reductie: voorwaartse eliminatie. We kunnen doorgaan met het vereenvoudigen van deze matrix nog meer (die ons zou brengen naar de tweede fase van back substitutie) maar we echt niet nodig omdat op dit punt het systeem is gemakkelijk oplosbaar., Dus, we kijken naar de uiteindelijke systeem op te lossen het direct op:

    • Vergelijking 5: Resulterende lineaire systeem van vergelijkingen op te lossen

    in deze set, kunnen we automatisch waarnemen dat de waarde van de variabele z is: z=-2.,/li>

  • de Toepassing van de waarden van y en z aan de eerste vergelijking

    Vergelijking 6: Het oplossen van de resulterende lineaire systeem van vergelijkingen
  • En de uiteindelijke oplossing voor het systeem is:

    Vergelijking 7: Definitieve oplossing van het stelsel lineaire vergelijkingen bijvoorbeeld 1
  • Meer Gaussische eliminatie problemen zijn toegevoegd aan deze les in de vorige paragraaf., Zorg ervoor dat je er doorheen werkt om te oefenen.

    verschil tussen Gaussiaanse eliminatie en Gauss jordan eliminatie

    het verschil tussen Gaussiaanse eliminatie en de Gaussiaanse Jordan eliminatie is dat de ene een matrix produceert in rij echelon vorm terwijl de andere een matrix produceert in rij gereduceerde echelon vorm. Een rij echelon vorm matrix heeft een bovenste driehoekige samenstelling waar elke nul rijen zijn aan de onderkant en leidende termen zijn allemaal aan de rechterkant van de leidende term uit de rij hierboven., Verminderde echelon-vorm gaat verder dan door veel meer te vereenvoudigen (soms zelfs het bereiken van de vorm van een identiteitsmatrix).

    vergelijking 8: verschil tussen echelon-vorm en rij echelon-vorm

    de geschiedenis van de Gaussiaanse eliminatie en zijn namen is heel interessant, het zal u verbazen dat de naam “Gaussian” per ongeluk aan deze methodologie werd toegeschreven in de vorige eeuw., In werkelijkheid is het algoritme om gelijktijdig een systeem van lineaire vergelijkingen op te lossen met behulp van matrices en rijreductie gevonden in een of andere vorm te zijn geschreven in oude Chinese teksten die dateren zelfs voor onze tijd. Toen in de late 1600 ‘ s Isaac Newton samengesteld een les over het op te vullen iets dat hij beschouwde als een leegte in de algebra boeken. Nadat de naam “Gaussian” al was vastgesteld in de jaren 1950, werd de Gaussian-Jordan term aangenomen toen geodeticus W. Jordan De techniek verbeterde zodat hij dergelijke berekeningen kon gebruiken om zijn geobserveerde landmeetgegevens te verwerken., Als u verder wilt lezen over de fascinerende geschiedenis over de wiskundigen van de Gaussiaanse eliminatie aarzel dan niet om op de link te klikken en te lezen.

    Er is echt geen fysiek verschil tussen Gaussiaanse eliminatie en Gauss Jordan eliminatie, beide processen volgen exact hetzelfde type rij operaties en combinaties van hen, hun verschil ligt op de resultaten die ze produceren., Veel wiskundigen en leraren over de hele wereld zullen verwijzen naar Gaussiaanse eliminatie vs Gauss Jordan eliminatie als de methoden om een echelon vorm matrix te produceren vs een methode om een gereduceerde echelon vorm matrix te produceren, maar in werkelijkheid hebben ze het over de twee fasen van rij reductie die we hebben uitgelegd op het eerste deel van deze les (vooruit eliminatie en terug substitutie), en dus, je gewoon rij operaties toepassen totdat je de matrix in kwestie hebt vereenvoudigd., Als je bij de echelon-vorm komt kun je er meestal een systeem van lineaire vergelijkingen mee oplossen (tot Hier zou dit Gaussiaanse eliminatie genoemd worden). Als je de vereenvoudiging van een dergelijke matrix moet voortzetten om direct de algemene oplossing te verkrijgen voor het stelsel van vergelijkingen waaraan je werkt, ga je in dit geval gewoon door met row-werken op de matrix totdat je het hebt vereenvoudigd tot gereduceerde echelon-vorm (dit zou wat we het Gauss-Jordan-deel noemen en dat ook kan worden beschouwd als draaiende Gaussiaanse eliminatie).,

    we laten de uitgebreide uitleg over rijreductie en echelon vormen voor de volgende les, want nu moet je weten dat, tenzij je een identiteitsmatrix hebt aan de linkerkant van de vergrote matrix die je oplost (in dat geval hoef je niets te doen om het stelsel van vergelijkingen gerelateerd aan de matrix op te lossen), de Gaussiaanse eliminatiemethode (reguliere rijreductie) altijd zal worden gebruikt om een lineair stelsel van vergelijkingen op te lossen dat is getranscribeerd als een matrix.,

    Gaussiaanse eliminatie voorbeelden

    als onze laatste sectie, laten we nog wat meer oefeningen over Gaussiaanse eliminatie (rij reductie) doen, zodat u meer praktijk op deze methodologie kunt verwerven. Gedurende vele toekomstige lessen in deze cursus voor lineaire Algebra, zult u merken dat Rij reductie is een van de belangrijkste instrumenten die er zijn bij het werken met matrixvergelijkingen. Daarom, zorg ervoor dat u alle stappen die betrokken zijn bij de oplossing voor de volgende problemen te begrijpen.,ear equations into an augmented matrix we obtain the matrix equation:

    Equation 10: Resulting augmented matrix

  • Equation 11: Row reducing the augmented matrix
  • We can clearly see from the resulting matrix that −y=−5-y=-5 \; −y=−5 meaning that y=5y=5 \; y=5 .,zingen Gaussische eliminatie:
    Vergelijking 14: Systeem van lineaire vergelijkingen met drie variabelen

  • Voor dit systeem weten we verkrijgen wij een augmented matrix met drie rijen (omdat het systeem bevat drie vergelijkingen) en drie kolommen links van de verticale lijn (sinds er zijn drie verschillende variabelen)., In dit geval gaan we direct in op de rijreductie, en dus is de eerste matrix die je op dit proces ziet degene die je verkrijgt door het systeem van lineaire vergelijkingen te transcriberen in een vergrote matrix.,

    • Vergelijking 15: Rij het verminderen van de augmented matrix

    Merk op hoe kunnen we vertellen meteen dat de variabele z is gelijk aan nul voor dit systeem, aangezien de derde rij van de resulterende matrix toont de vergelijking -9z = 0., We gebruiken die kennis en controleren de tweede rij van de matrix die de vergelijking 2y-6z = 0 zou opleveren, waarbij de waarde van z = 0 \ wordt aangesloten, in die vergelijking resulteert in y \, ook nul. Dus vervangen we uiteindelijk beide waarden van y en z \, in de vergelijking die resulteert uit de eerste rij van de matrix: x + 4y + 3z = 1, aangezien zowel y als z \, nul zijn, dan geeft dit ons x = 1.,

  • Wij geven de lineaire systeem als een augmented matrix en dan beginnen we aan de Gaussische eliminatie-proces:
    Vergelijking 18: Rij het verminderen van de augmented matrix
  • Uit die we kunnen zien dat de laatste rij geeft de vergelijking: 6z = 3 en dus z = 1/2.,:

    Equation 21: System of linear equations with two variables

  • Transcribing the linear system as an augmented matrix and row reducing:
    Equation 22: Row reducing the augmented matrix
  • Which automatically tells us y = 8., En dus, door deze waarde te vervangen in de vergelijking uit de eerste rij krijgen we: 4x – 5y = 4x-5 (8) = 4x – 40 =-6 4x = 34 \, en daarom is de waarde van x: x = 172\frac{\small17}{\small2} 217 ., id=”1fd4b2067c”>

    Vergelijking 24: Systeem van lineaire vergelijkingen met drie variabelen

  • het Omzetten van het systeem van vergelijkingen in een augmented matrix en vervolgens op rij te verminderen:
    Vergelijking 25: Rij het verminderen van de augmented matrix
  • in de derde rij van de resulterende matrix weten we dat z = 3.,gcaption>Vergelijking 26: Oplossen naar x en y
  • En zo, de definitieve oplossing van het stelsel lineaire vergelijkingen is:
    Vergelijking 27: Definitieve oplossing van het stelsel lineaire vergelijkingen
  • afronden onze les voor vandaag hebben we een link aanbeveling om een aanvulling op uw studies: Gaussische eliminatie van een artikel waarin wat extra informatie over de rij-reductie, met inbegrip van een inleiding op het onderwerp en wat meer voorbeelden., Zoals we al eerder vermeld, wees klaar om Rij reductie te blijven gebruiken voor bijna de hele rest van deze cursus in lineaire Algebra, dus, we zien je in de volgende les!

    Geef een reactie

    Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *