Chaostheorie

complexe kwadratische veeltermen

een complexe kwadratische veelterm is een standaard kwadratische vergelijking waarbij de betrokken variabele een complex getal kan zijn. Een bijzonder eenvoudig voorbeeld hiervan is de veelterm

f(z) = z2+cf(z)=z^2 + cf(z)=z2+c

de fractal bekend als de Mandlebrot set. De complexe kwadratische kaart convergeert waar de plot zwart is, en divergeert met een snelheid volgens de intensiteit van de kleur elders. Door Wolfgang Beyer, CC BY-SA 3.,0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=321973

Rössler attractor

De Rössler attractor verwijst naar een dynamisch systeem gegeven door de volgende reeks eerste-orde ODEs in drie dimensies:

voor A,b,ca,b,ca,b,c reële parameters. Het is vergelijkbaar met de bekende chaotische kaart genaamd de Lorenz attractor, hoewel wiskundig eenvoudiger. Met name de Rössler attractor is gebruikt om evenwichten in reactiechemie te bestuderen.

dubbele slinger

De dubbele slinger is een van de eenvoudigste scenario ‘ s in de fysica waar chaotisch gedrag manifest is., Hamilton ‘ s bewegingsvergelijkingen voor de dubbele slinger leveren vier gekoppelde eerste-orde gewone differentiaalvergelijkingen op, wat een voldoende voorwaarde is voor chaos. De onderstaande animatie toont de zeer onvoorspelbare evolutie van de dubbele slinger gegeven een bepaalde initiële configuratie.,

Hénon kaart

De Hénon kaart is een losse kaart op het vlak gegeven door de verzameling van recursie betrekkingen

xn+1=1−axn2+ynyn+1=bxn\begin{aligned}x_{n+1} &= 1 – ax_n^2+y_n \\ y_{n+1} &= bx_n\end{aligned}xn+1yn+1=1−axn2+yn=bxn

in Combinatie kaart rooster

In een map rooster, een discrete reeks van punten worden geïndexeerd en gerangschikt in een rooster, en elke site kan evolueren volgens een bepaald type van recursie relatie. In een ontkoppeld kaartrooster evolueert elke site onafhankelijk, bijv., door

xn+1 = rxn ( 1−xn),x_{n+1} = rx_n(1-x_n),xn+1=rxn (1−xn),

waarbij rrr een parameter is. In een combinatie kaart rooster, de recursie voor de ithi^\text{ste}i-site is niet alleen afhankelijk van de vorige waarde op die site, maar ook de aangrenzende site:

De parameter ϵ\epsilonϵ geeft de mate van de koppeling; als ż→1\epsilon \te 1ϵ→1 de kaart rooster wordt afgekoppeld, en als ż→0\epsilon \te 0ϵ→0 de kaart is maximaal gekoppeld. Kaartroosters zijn in de eerste plaats interessant omdat zowel ontkoppelde als gekoppelde kaartroosters chaotisch zijn, hoewel gekoppelde kaartroosters veel rijkere structuur vertonen., Ten tweede zijn ze echter gebruikt om interacties tussen aangrenzende chemicaliën in de ruimte en elektrische circuits te modelleren.

veertig verschillende zaaiingen van een ontkoppeld kaartrooster, elk met een andere waarde van rrr. Color geeft de waarde aan van het punt in de array geïndexeerd door een bepaald punt op het rooster. De kaart is chaotisch en er bestaat geen specifieke structuur in een bepaalde iteratie. Door Travdog8-eigen werk, CC BY-SA 3.,0, https://en.wikipedia.org/w/index.php?curid=22892411

chaotisch mengen

bij chaotisch mengen, hoeveelheden zoals dichtheid, viscositeit of temperatuur die de stroom van een vloeistofmengsel op een fractal-achtige manier volgen. Dergelijke vloeistoffen worden beheerst door een systeem van eerste orde ODEs. Voor een vloeistof geregeerd door de Navier-Stokes vergelijkingen in drie dimensies, zijn er voldoende graden van vrijheid om de vloeistofstroom chaotisch te zijn.,

Ikeda-kaart

De Ikeda-kaart is een discrete complexe kaart gegeven door de recursie

zn+1=A+Bznei(∣zn 2 2+C),z_{n+1} = A + Bz_n e^{i\left(|z_n|^2 + C\right)},zn+1=A+Bznei (∣zn 2 2+C),

voor sommige parameters a,BA,BA,b en CCC. Het is een model dat in de fysica wordt gebruikt voor een reeks pulsen van laserlicht die interageren in een niet-lineair medium dat een optische resonator wordt genoemd. De parameter BBB karakteriseert hoe lossy de resonator is.,

Standaard kaart

De standaard kaart is een dynamische systeem gedefinieerd als een recursie betrekking op het plein, dat is

pn+1=pn+Ksin⁡(θn)θn+1=θn+pn+1\begin{aligned}p_{n+1} &= p_n + K \sin (\theta_n) \\\theta_{n+1} &= \theta_n + p_{n+1}\end{aligned}pn+1θn+1=pn+Ksin(θn)=θn+pn+1

met pnp_npn, θn\theta_nθn modulo 2π2\pi2n en KKK enige constante., Het beschrijft het momentum en de hoek van een deeltje beperkt tot een ring die periodieke kicks ervaart in een bepaalde sterkte KKK, dat wil zeggen, een deeltje dat de Hamiltoniaan volgt

H=p22+Kcos⁡(x)∑nδ(t−n)H = \frac{p^2}{2} + K\cos (x) \sum_n \delta (t – n)H=2p2+kcos(x)N δ δ(t−n)

met de extra beperking dat het momentum periodiek is. Dit systeem wordt de schopte rotator genoemd en de constante KKK wordt de schopsterkte genoemd., Het komt voor in de studie van periodiek geschopte systemen en is dus bijzonder nuttig in de fysica met deeltjes beperkt tot een ring, zoals versneller of plasmafysica.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *