Løse et lineært system med matriser ved hjelp av Gauss eliminasjon – Matriser

Løse et lineært system med matriser ved hjelp av Gauss eliminasjon

Etter et par timer der vi har flere ganger nevnt at vi dekker det grunnleggende som trengs for å senere du vil lære hvordan å løse systemer av lineære ligninger, har tiden kommet for vår lekse å fokusere på full metodikk for å følge for å finne de løsningene for slike systemer.,

Hva er Gaussisk eliminasjon

Gaussisk eliminasjon er navnet på metoden vi bruker for å utføre de tre typer av matrix rad operasjoner på en utvidet matrise som kommer fra et lineært system av ligninger for å finne løsninger for slike system. Denne teknikken er også kalt rad reduksjon, og det består av to trinn: Frem eliminering og tilbake substitusjon.

Disse to Gaussisk eliminasjon metode trinn er differensiert ikke av operasjoner du kan bruke gjennom dem, men ved å følge de produserer., Fremover eliminering trinn refererer til raden reduksjon trengs for å forenkle matrise i spørsmålet i sin gruppe-formen. Slik fase har til hensikt å demonstrere hvis den system av ligninger portrettert i » the matrix har en unik mulig løsning, uendelig mange løsninger, eller bare ingen løsning i det hele tatt. Hvis det blir funnet at systemet har ingen løsning, så det er ingen grunn til å fortsette rad redusere matrisen gjennom neste trinn.

Hvis det er mulig å få løsninger for variablene som er involvert i det lineære systemet, så Gaussisk eliminasjon med tilbake substitusjon scenen er gjennomført., Dette siste trinnet vil føre til en redusert gruppe-formen til matrisen som i sin tur gir den generelle løsningen til systemet av lineære ligninger.,

Gaussisk eliminasjon reglene er de samme som reglene for de tre elementære rad virksomhet, i andre ord, du kan algebraically operere på radene i en matrise i de neste tre måter (eller en kombinasjon av):

  1. Interchanging to rader
  2. å Multiplisere en rad av en konstant (noe konstant som ikke er null)
  3. for å Legge til en rad til en annen rad

Og så løse et lineært system med matriser ved hjelp av Gauss eliminasjon skjer for å være en strukturert, organisert og ganske effektiv metode.,

Hvordan å gjøre Gaussisk eliminasjon

Det er virkelig ikke et etablert sett av Gauss eliminasjon trinn du må følge for å løse et system av lineære ligninger, er alle om matrix du har i hendene og nødvendig rad operasjoner for å forenkle det.,»539b2eeed8″>

Ligning 3: Rad å redusere (anvendelse av Gauss eliminasjon metode til) utvidet matrise

  • noe som Resulterer i matrisen:

    Ligning 4: Redusert matrise i sin gruppe-formen
  • legg Merke til at på dette punktet, vi kan observere at dette system av lineære ligninger er løsbar med en unik løsning for hver av sine variabler., Hva vi har gjort så langt er den første fasen av rad-reduksjon: Frem eliminering. Vi kan fortsette å forenkle denne matrisen enda mer (som ville ta oss til den andre fasen tilbake substitusjon), men vi har egentlig ikke behov for å siden på dette punktet systemet er enkelt løsbar., Dermed ser vi på den resulterende system for å løse det direkte:

    • Ligning 5: Resulterende lineært system av ligninger for å løse

    Fra dette settet, kan vi automatisk observere at verdien av variabelen z: z=-2.,/li>

  • å Anvende verdier av y og z til den første ligningen

    Ligning 6: Å løse den resulterende lineært system av ligninger
  • Og den endelige løsningen for systemet er:

    Ligning 7: Endelige løsningen til den system av lineære ligninger for eksempel 1
  • Mer Gaussisk eliminasjon problemer har blitt lagt til i denne leksjonen i sin siste delen., Sørg for å arbeide gjennom dem for å øve.

    Forskjellen mellom gaussisk eliminasjon og gauss jordan eliminasjon

    forskjellen mellom Gaussisk eliminasjon og den Gaussiske Jordan eliminasjon er at man lager en matrise i rad-gruppe-formen, mens den andre produserer en matrise i rad redusert gruppe-formen. En rad-gruppe-formen matrix har en øvre triangulær sammensetning der ingen rader er på bunnen og ledende vilkårene er til høyre av de ledende begrep fra raden over., Redusert gruppe-formen går utover ved å forenkle mye mer (noen ganger strekker form av en identitet matrix).

    Ligning 8: Forskjell mellom gruppe-formen og rad-gruppe-formen

    historien om Gaussisk eliminasjon og dens navn er ganske interessant, du vil bli overrasket over å vite at navnet «Gauss» ble tilskrevet denne metodikken ved en feil i forrige århundre., I virkeligheten algoritmen for samtidig å løse et system av lineære ligninger ved hjelp av matriser og rad reduksjon har blitt funnet å være skrevet i en eller annen form i gamle Kinesiske tekster som dato for å selv før vår tidsregning. Så i slutten av 1600-tallet Isaac Newton sette sammen en leksjon om det å fylle opp noe som han betraktet som et tomrom i algebra bøker. Etter navnet «Gauss» hadde vært som allerede er etablert på 1950-tallet, Gauss-Jordan-begrepet ble vedtatt når geodesist W. Jordan forbedret teknikk, slik at han kunne bruke slike beregninger til å behandle hans observert land måledata., Hvis du ønsker å fortsette å lese om den fascinerende historien om matematikere av Gauss eliminasjon ikke nøl med å klikk på linken og les.

    Det er virkelig ingen fysiske forskjellen mellom Gaussisk eliminasjon og Gauss Jordan eliminasjon, begge prosessene følge den nøyaktige samme type rad drift og kombinasjoner av dem, deres forskjellen ligger på de resultater de produserer., Mange matematikere og lærere rundt om i verden vil se Gaussisk eliminasjon vs Gauss Jordan eliminasjon som metoder for å produsere en echelon form matrix vs en metode for å produsere en redusert gruppe-formen matrix, men i virkeligheten, de snakker om to etapper på rad reduksjon forklarte vi på den aller første delen av denne leksjonen (frem eliminering og tilbake substitusjon), og så, du bare gjelder rad operasjoner før du har forenklet matrise i spørsmålet., Hvis du kommer til echelon form du kan vanligvis løse et system av lineære ligninger med det (opp til her, dette er hva som ville bli kalt Gauss eliminasjon). Hvis du trenger å fortsette forenklingen av en slik matrise for å få direkte generell løsning for system av ligninger som du jobber på, i dette tilfellet vil du bare fortsette å rad-opererer på matrix før du har forenklet det til redusert echelon form (dette vil være det vi kaller Gauss-Jordan del og som ikke kan anses også som svingbare Gaussisk eliminasjon).,

    Vi vil forlate omfattende forklaring på rad reduksjon og gruppe former for neste leksjon, for nå er du trenger å vite det, med mindre du har en identitet matrise på venstre side av utvidet matrise du er løse (i dette tilfellet trenger du ikke å gjøre noe for å løse den system av ligninger knyttet til matrise), den Gaussisk eliminasjon metode (vanlig rad reduksjon) vil alltid bli brukt til å løse et lineært system av ligninger som har blitt transkribert som en matrise.,

    Gaussisk eliminasjon eksempler

    Som vår siste delen, la oss arbeide gjennom noen flere øvelser på Gaussisk eliminasjon (rad reduksjon) slik at du kan få mer praksis på denne metoden. Gjennom mange fremtidige leksjonene i dette kurset for Lineær Algebra, vil du finne at rad reduksjon er en av de mest viktige verktøy som det er når du arbeider med matrix ligninger. Derfor, sørg for at du forstår alle trinnene som er involvert i løsningen for neste problemer.,ear equations into an augmented matrix we obtain the matrix equation:

    Equation 10: Resulting augmented matrix

  • Equation 11: Row reducing the augmented matrix
  • We can clearly see from the resulting matrix that −y=−5-y=-5 \; −y=−5 meaning that y=5y=5 \; y=5 .,synge Gauss eliminasjon:
    Ligning 14: System av lineære ligninger med tre variabler

  • dette systemet, vet vi at vi vil få en utvidet matrise med tre rader (siden systemet inneholder tre ligninger) og tre kolonner til venstre for den vertikale linjen (siden det er tre forskjellige variabler)., På denne saken vil vi gå direkte i raden reduksjon, og så, den første matrisen du vil se på denne prosessen er den samme som du får ved å transkribere den system av lineære ligninger i en utvidet matrise.,

    • Ligningen 15: Rad redusere utvidet matrise

    legg Merke til hvordan vi kan fortelle med en gang at variabelen z er lik null for dette systemet siden den tredje raden av den resulterende matrisen viser ligningen -9z = 0., Vi bruker den kunnskapen og sjekk den andre raden i matrise som ville gi ligningen 2y – 6z = 0, setter verdien for z = 0 \, i ligningen resultater i y \, også blir null. Dermed er vi endelig erstatning både verdier av y og z \, i ligningen at resultatene fra den første raden i matrise: x + 4y + 3z = 1, siden både y og z \, er null, så dette gir oss x = 1.,

  • Vi transkribere det lineære systemet som en utvidet matrise, og deretter starter vi på den Gaussiske eliminering prosessen:
    Ligningen 18: Rad redusere utvidet matrise
  • som vi kan se at den siste raden gir ligningen: 6z = 3 og derfor z = 1/2.,:

    Equation 21: System of linear equations with two variables

  • Transcribing the linear system as an augmented matrix and row reducing:
    Equation 22: Row reducing the augmented matrix
  • Which automatically tells us y = 8., Og så, erstatter denne verdi i ligningen fra første rad får vi: 4x – 5y = 4x – 5(8) = 4x – 40 =-6 4x = 34 \, og derfor verdien av x er: x = 172\frac{\small17}{\small2} 217 ., id=»1fd4b2067c»>

    Ligningen 24: System av lineære ligninger med tre variabler

  • Konvertere system av ligninger i en utvidet matrise og deretter rad redusere:
    Ligningen 25: Rad redusere utvidet matrise
  • Fra den tredje raden i den resulterende matrisen vi vet at z = 3.,gcaption>Ligningen 26: Løse for x og y
  • Og så, den endelige løsningen til den system av lineære ligninger er:
    Ligningen 27: Endelige løsningen til den system av lineære ligninger
  • for Å ferdigstille vår leksjon for i dag har vi en link anbefaling om å utfylle dine studier: Gaussisk eliminasjon en artikkel som inneholder noen ekstra opplysninger på rad reduksjon, inkludert en introduksjon til temaet og noen flere eksempler., Som vi har nevnt før, være klar til å holde på med rad reduksjon i nesten hele resten av dette kurset i Lineær Algebra, så vi ser deg i neste leksjon!

    Legg igjen en kommentar

    Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *