Lösen eines linearen Systems mit Matrizen unter Verwendung Gaußscher Eliminationsmatrizen

Lösen eines linearen Systems mit Matrizen unter Verwendung Gaußscher Elimination

Nach einigen Lektionen, in denen wir wiederholt erwähnt haben, dass wir die Grundlagen abdecken, die erforderlich sind, um später zu lernen, wie man lineare Gleichungssysteme löst, ist es an der Zeit, dass sich unsere Lektion auf die vollständige Methodik konzentriert, um die Lösungen für solche Systeme zu finden.,

Was ist Gaußsche Elimination

Gaußsche Elimination ist der Name der Methode, mit der wir die drei Arten von Matrixzeilenoperationen für eine erweiterte Matrix ausführen, die aus einem linearen Gleichungssystem stammt, um die Lösungen für ein solches System zu finden. Diese Technik wird auch als Zeilenreduktion bezeichnet und besteht aus zwei Stufen: Vorwärtselimination und Rückensubstitution.

Diese beiden Schritte der Gaußschen Eliminationsmethode unterscheiden sich nicht durch die Operationen, die Sie durch sie ausführen können, sondern durch das Ergebnis, das sie erzeugen., Der Vorwärtseliminationsschritt bezieht sich auf die Zeilenreduzierung, die erforderlich ist, um die betreffende Matrix in ihre Staffelform zu vereinfachen. Eine solche Stufe hat den Zweck zu demonstrieren, ob das in der Matrix dargestellte Gleichungssystem eine einzigartige mögliche Lösung, unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung hat. Wenn festgestellt wird, dass das System keine Lösung hat, gibt es keinen Grund, die Matrix durch die nächste Stufe weiter zu reduzieren.

Wenn es möglich ist, Lösungen für die am linearen System beteiligten Variablen zu erhalten, wird die Gaußsche Elimination mit Rückensubstitutionsstufe durchgeführt., Dieser letzte Schritt wird eine reduzierte Echelon-Form der Matrix erzeugen, die wiederum die allgemeine Lösung für das System der linearen Gleichungen liefert.,

Die Gaußschen Eliminationsregeln sind die gleichen wie die Regeln für die drei elementaren Zeilenoperationen, mit anderen Worten, Sie können algebraisch mit den Zeilen einer Matrix auf die nächsten drei Arten (oder Kombinationen von) arbeiten:

  1. Austausch von zwei Zeilen
  2. Multiplizieren einer Zeile mit einer Konstante (jede Konstante, die nicht Null ist)
  3. Hinzufügen einer Zeile zu einer anderen Zeile

Und so löst man ein lineares System mit Matrizen Die gaußsche Eliminierung ist zufällig eine strukturierte, organisierte und recht effiziente Methode.,

Wie Gaußsche Elimination

Das ist wirklich kein etablierter Satz von Gaußschen Eliminationsschritten, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, dreht sich alles um die Matrix, die Sie in Ihren Händen haben, und die notwendigen Zeilenoperationen, um es zu vereinfachen.,“539b2eeed8″>

Gleichung 3: Zeilenreduzierung (Anwenden der Gaußschen Eliminationsmethode auf) der erweiterten Matrix

  • Was zur Matrix führt:

    Gleichung 4: Reduzierte Matrix in ihre Echelon-Form
  • Beachten Sie, dass wir zu diesem Zeitpunkt feststellen können, dass dieses System linearer Gleichungen mit einer eindeutigen Lösung für jede seiner Variablen lösbar ist ., Was wir bisher durchgeführt haben, ist die erste Stufe der Zeilenreduzierung: Vorwärtselimination. Wir können diese Matrix weiter vereinfachen (was uns zur zweiten Stufe der Rückensubstitution führen würde), aber wir müssen es wirklich nicht, da das System zu diesem Zeitpunkt leicht lösbar ist., Daher betrachten wir das resultierende System, um es direkt zu lösen:

    • Gleichung 5: Resultierendes lineares Gleichungssystem zum Lösen

    Aus diesem Satz können wir automatisch beobachten, dass der Wert der Variablen z ist: z=-2.,/li>

  • Anwenden der Werte von y und z auf die erste Gleichung

    Gleichung 6: Lösen des resultierenden linearen Gleichungssystems
  • Und die endgültige Lösung für das System lautet: p>

    Gleichung 7: Endgültige Lösung für das System der linearen Gleichungen zum Beispiel 1
  • Weitere Gaußsche Eliminationsprobleme wurden dieser Lektion in ihrem letzten Abschnitt hinzugefügt., Achten Sie darauf, durch sie zu arbeiten, um zu üben.

    Unterschied zwischen Gaußscher Elimination und Gaußscher Jordan Elimination

    Der Unterschied zwischen Gaußscher Elimination und Gaußscher Jordan Elimination besteht darin, dass eine Matrix in Zeilenechelonform erzeugt wird, während die andere eine Matrix in Zeilenechelonform erzeugt. Eine Zeilenechelonenformmatrix hat eine obere dreieckige Zusammensetzung, in der sich unten Nullzeilen und führende Terme rechts neben dem führenden Term aus der obigen Zeile befinden., Die reduzierte Echelon-Form geht darüber hinaus, indem sie viel mehr vereinfacht (manchmal sogar die Form einer Identitätsmatrix erreicht).

    Gleichung 8: Unterschied zwischen echelon Form und Zeile echelon form

    Die Geschichte der Gaußschen beseitigung und seine Namen sind sehr interessant, Sie werden überrascht sein zu wissen, dass der Name „Gauß“ dieser Methodik im letzten Jahrhundert versehentlich zugeschrieben wurde., In Wirklichkeit wurde festgestellt, dass der Algorithmus zur gleichzeitigen Lösung eines linearen Gleichungssystems unter Verwendung von Matrizen und Zeilenreduzierung in alten chinesischen Texten, die noch vor unserer Zeitrechnung stammen, in irgendeiner Form geschrieben wurde. Jahrhunderts stellte Isaac Newton eine Lektion zusammen, um etwas zu füllen, das er in Algebra-Büchern als Leere betrachtete. Nachdem der Name „Gauß“ bereits in den 1950er Jahren etabliert worden war, wurde der gaußisch-jordanische Begriff übernommen, als der Geodäte W. Jordan die Technik verbesserte, damit er solche Berechnungen zur Verarbeitung seiner beobachteten Landvermessungsdaten verwenden konnte., Wenn Sie weiter über die faszinierende Geschichte der Mathematiker von Gauß lesen möchten, zögern Sie nicht, auf den Link zu klicken und zu lesen.

    Es gibt wirklich keinen physischen Unterschied zwischen Gaußscher Elimination und Gaußscher Elimination, beide Prozesse folgen genau der gleichen Art von Zeilenoperationen und Kombinationen von ihnen, ihr Unterschied liegt in den Ergebnissen, die sie erzeugen., Viele Mathematiker und Lehrer auf der ganzen Welt werden Gaußsche Elimination vs Gaußsche Elimination als die Methoden zur Erzeugung einer Echelon-Formmatrix im Vergleich zu einer Methode zur Erzeugung einer reduzierten Echelon-Formmatrix bezeichnen, aber in Wirklichkeit sprechen sie über die beiden Stufen der Zeilenreduktion, die wir im ersten Abschnitt dieser Lektion erklärt haben (Vorwärtselimination und Rückensubstitution), und so wenden Sie nur Zeilenoperationen an, bis Sie die betreffende Matrix vereinfacht haben., Wenn Sie zur Staffelenform gelangen, können Sie normalerweise ein lineares Gleichungssystem damit lösen (bis hier wird dies als Gaußsche Elimination bezeichnet). Wenn Sie die Vereinfachung einer solchen Matrix fortsetzen müssen, um direkt die allgemeine Lösung für das von Ihnen bearbeitete Gleichungssystem zu erhalten, arbeiten Sie in diesem Fall einfach weiter an der Matrix, bis Sie sie auf reduzierte Staffelenform vereinfacht haben (dies wäre das, was wir den Gauß-Jordan-Teil nennen und der auch als schwenkbare Gaußsche Elimination betrachtet werden könnte).,

    Für die nächste Lektion werden wir die ausführliche Erklärung zu Zeilenreduktion und Echelon-Formen für die nächste Lektion belassen, denn jetzt müssen Sie wissen, dass, es sei denn, Sie haben eine Identitätsmatrix auf der linken Seite der erweiterten Matrix, die Sie lösen (in diesem Fall müssen Sie nichts tun, um das Gleichungssystem in Bezug auf die Matrix zu lösen), die Gaußsche Eliminationsmethode (reguläre Zeilenreduktion) immer verwendet wird, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, das als Matrix transkribiert wurde.,

    Beispiele für Gaußsche Elimination

    Lassen Sie uns als letzten Abschnitt einige weitere Übungen zur Gaußschen Elimination (Zeilenreduktion) durcharbeiten, damit Sie mehr Übung zu dieser Methodik erwerben können. In vielen zukünftigen Lektionen in diesem Kurs für lineare Algebra werden Sie feststellen, dass die Zeilenreduktion eines der wichtigsten Werkzeuge ist, die es beim Arbeiten mit Matrixgleichungen gibt. Stellen Sie daher sicher, dass Sie alle Schritte zur Lösung der nächsten Probleme verstehen.,ear equations into an augmented matrix we obtain the matrix equation:

    Equation 10: Resulting augmented matrix

  • Equation 11: Row reducing the augmented matrix
  • We can clearly see from the resulting matrix that −y=−5-y=-5 \; −y=−5 meaning that y=5y=5 \; y=5 .,sing Gaussian elimination:
    Gleichung 14: Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen

  • Für dieses System erhalten wir eine erweiterte Matrix mit drei Zeilen (da das System drei Gleichungen enthält) und drei Spalten links von der vertikalen Linie (da es drei verschiedene Variablen gibt)., In diesem Fall gehen wir direkt in die Zeilenreduktion ein, und die erste Matrix, die Sie bei diesem Prozess sehen, ist diejenige, die Sie erhalten, indem Sie das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Matrix transkribieren.,

    • Gleichung 15: Zeile für die erweiterte Matrix

    Beachten Sie, wie wir sofort feststellen können, dass die Variable z für dieses System gleich Null ist, da die dritte Zeile der resultierenden Matrix die Gleichung-9z = 0., Wir verwenden dieses Wissen und überprüfen die zweite Zeile der Matrix, die die Gleichung 2y – 6z = 0 liefert, wobei der Wert von z = 0 \ in diese Gleichung eingefügt wird, was zu y \ führt, das ebenfalls Null ist. So ersetzen wir schließlich beide Werte von y und z \ in die Gleichung, die sich aus der ersten Zeile der Matrix ergibt: x + 4y + 3z = 1, da sowohl y als auch z \ Null sind, dann ergibt dies x = 1.,

  • Wir transkribieren das lineare System als erweiterte Matrix und starten dann den Gaußschen Eliminationsprozess:
    Gleichung 18: Zeile Reduzieren der erweiterten Matrix
  • Aus dem wir sehen können, dass die letzte Zeile die Gleichung liefert: 6z = 3 und daher z = 1/2.,:

    Equation 21: System of linear equations with two variables

  • Transcribing the linear system as an augmented matrix and row reducing:
    Equation 22: Row reducing the augmented matrix
  • Which automatically tells us y = 8., Wenn wir diesen Wert in die Gleichung aus der ersten Zeile einfügen, erhalten wir: 4x-5y = 4x-5(8) = 4x – 40 =-6 4x = 34 \, und daher lautet der Wert von x: x = 172\frac{\small17}{\small2} 217 ., id=“1fd4b2067c“>

    Gleichung 24: Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen

  • Konvertieren des Gleichungssystems in eine erweiterte Matrix und anschließende Zeilenreduzierung:
    Gleichung 25: Zeile Reduzieren der erweiterten Matrix
  • Und so ist die endgültige Lösung für das System der linearen Gleichungen:
    Gleichung 27: Endgültige Lösung für das System der linearen Gleichungen
  • Um unsere Lektion für heute abzuschließen, haben wir eine Linkempfehlung zur Ergänzung Ihres Studiums: Gaußsche Elimination Ein Artikel, der einige zusätzliche Informationen zur Zeilenreduzierung enthält, einschließlich einer Einführung in das Thema und einige weitere Beispiele., Wie bereits erwähnt, seien Sie bereit, die Zeilenreduzierung für fast den gesamten Rest dieses Kurses in linearer Algebra fortzusetzen, also sehen wir uns in der nächsten Lektion!

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