Løsning af et lineært system med matricer ved hjælp af Gauss-elimination – Matricer

Løsning af et lineært system med matricer ved hjælp af Gauss-elimination

Efter et par lektioner, hvor vi har flere gange nævnt, at vi dækker det grundlæggende behov for at de senere kan lære at løse systemer af lineære ligninger, tiden er kommet til lektionen til at fokusere på det fulde metode til at følge for at finde de løsninger, der er til sådanne systemer.,

Hvad er Gauss-elimination

Gauss elimination er navnet på den metode, vi bruger til at udføre de tre typer af matrix række operationer på en udvidet matrix, der kommer fra et lineært system af ligninger for at finde de bedste løsninger for et sådant system. Denne teknik kaldes også rækkereduktion, og den består af to faser: fremad eliminering og tilbage substitution.

disse to gaussiske eliminationsmetode trin er differentieret ikke af de operationer, du kan bruge gennem dem, men af det resultat, de producerer., Det fremadrettede elimineringstrin henviser til den rækkereduktion, der er nødvendig for at forenkle den pågældende Matri.i dens echelon-form. Et sådant stadium har til formål at demonstrere, om ligningssystemet, der er portrætteret i Matri .en, har en unik mulig løsning, uendeligt mange løsninger eller bare ingen løsning overhovedet. Hvis det konstateres, at systemet ikke har nogen løsning, er der ingen grund til at fortsætte rækken med at reducere Matri theen gennem næste trin.

hvis det er muligt at opnå løsninger for de variabler, der er involveret i det lineære system, gennemføres den gaussiske eliminering med back substitution-fase., Dette sidste skridt vil producere en reduceret echelon form af matricen, som igen giver den generelle løsning på systemet med lineære ligninger.,

Gauss elimination reglerne er de samme som reglerne for tre elementære række operationer, med andre ord, du kan algebraically operere på rækker i en matrix i de næste tre måder (eller kombination):

  1. Ombytning af to rækker
  2. Multiplikation af en række med en konstant (en konstant, der ikke er nul)
  3. Tilføje en række til en anden række

Og så, at løse et lineært system med matricer ved hjælp af Gauss-elimination sker for at være en struktureret, organiseret og ganske effektiv metode.,

Sådan gør du Gauss elimination

Det er virkelig ikke et etableret sæt af Gauss-elimination skridt til at følge for at løse et system af lineære ligninger, handler om den matrix, du har i dine hænder, og de nødvendige række operationer for at forenkle det.,”539b2eeed8″>

Ligning 3: Træk til at mindske (anvende Gauss elimination metode til), den udvidede matrix

  • hvilket Resulterer i the matrix:

    Ligning 4: Reduceret matrix i sin echelon-form
  • Bemærk, at på dette punkt, vi kan se, at dette system af lineære ligninger, der kan løses med en unik løsning til hver af de variable., Det, vi har udført indtil videre, er den første fase af rækkereduktion: fremad eliminering. Vi kan fortsætte med at forenkle denne Matri even endnu mere (hvilket ville tage os til anden fase af back substitution), men vi behøver virkelig ikke, da systemet på dette tidspunkt let kan løses., Således ser vi på det samlede system til at løse det direkte:

    • Ligning 5: som følge lineære system af ligninger at løse

    Fra dette sæt, kan vi automatisk opmærksom på, at værdien af den variable z er: z=-2.,/li>

  • Anvende de værdier af y og z, at den første ligning

    Ligning 6: At løse den deraf følgende lineære system af ligninger
  • Og den endelige løsning for systemet er:

    Ligning 7: Endelige løsning på det system af lineære ligninger, for eksempel 1
  • Mere Gauss elimination problemer er blevet tilføjet til denne lektion i sin sidste afsnit., Sørg for at arbejde igennem dem for at øve.

    Forskellen mellem gauss-elimination og gauss jordan elimination

    forskellen mellem Gauss elimination og den Gauss-Jordan elimination er, at man giver en matrix, række-echelon-form, mens andre giver en matrix i reduceret række-echelon form. En række echelon form Matri.har en øvre trekantet sammensætning, hvor eventuelle nul rækker er i bunden og førende vilkår er alle til højre for den førende sigt fra rækken ovenfor., Reduceret echelon form går ud over ved at forenkle meget mere (nogle gange endda nå formen af en identitetsmatri.).

    Ligning 8: Forskel mellem echelon form og række-echelon-form

    historien om Gauss-elimination og dens navne er ganske interessant, du vil blive overrasket over at vide, at navnet “Gaussisk” blev tilskrevet denne metode, ved en fejl i det sidste århundrede., I virkeligheden har algoritmen til samtidig at løse et system af lineære ligninger ved hjælp af matricer og rækkereduktion vist sig at være skrevet i en eller anden form i gamle kinesiske tekster, der dateres til allerede før vores æra. Så i slutningen af 1600 ‘ s Isaac ne .ton sammensætte en lektion om det at fylde noget, han betragtes som et tomrum i algebra bøger. Efter at navnet” Gauss “allerede var etableret i 1950’ erne, blev Gauss-Jordan-udtrykket vedtaget, da geodesist W.. Jordan forbedrede teknikken, så han kunne bruge sådanne beregninger til at behandle hans observerede landmålingsdata., Hvis du gerne vil fortsætte med at læse om den fascinerende historie om matematikere af Gauss elimination tøv ikke med at klikke på linket og læse.

    Der er virkelig ingen fysisk forskel mellem Gaussisk eliminering og Gauss Jordan elimination, begge processer følger nøjagtigt den samme type rækkeoperationer og kombinationer af dem, deres forskel ligger på de resultater, de producerer., Mange matematikere og lærere rundt om i verden vil henvise til Gauss elimination vs Gauss Jordan elimination som metoder til at producere en echelon form matrix vs en metode til at producere en reduceret echelon form matrix, men i virkeligheden er tale om to faser af en række reduktion vi forklarede dem, at på den første del af denne lektion (frem afskaffelse og tilbage substitution), og så, du skal bare anvende række aktiviteter, indtil du har forenklet matrix spørgsmål., Hvis du ankommer til echelon-formularen, kan du normalt løse et system af lineære ligninger med det (indtil her er det det, der ville blive kaldt Gaussisk eliminering). Hvis du har brug for at fortsætte forenklingen af en sådan matrix med henblik på at opnå direkte den generelle løsning til systemet af ligninger, du arbejder på, i dette tilfælde skal du bare fortsætte med at række-operere på den matrix, indtil du har forenklet det til reduceret echelon form (det ville være, hvad vi kalder Gauss-Jordan del af, og som kan betragtes også som drejelige Gauss elimination).,

    Vi vil forlade omfattende forklaring på rækken reduktion og echelon former for næste lektion, for nu er du nødt til at vide, at medmindre du har en matrix, der på venstre side af den udvidede matrix, du er løse (i hvilket tilfælde du behøver ikke at gøre noget for at løse ligningssystemet, der er relateret til matrix), Gauss elimination metode (regelmæssige træk reduktion) vil altid blive brugt til at løse et lineært system af ligninger, der er blevet transskriberet som en matrix.,

    Gaussian elimination eksempler

    som vores sidste afsnit, lad os arbejde gennem nogle flere øvelser på Gaussian elimination (række reduktion), så du kan få mere praksis på denne metode. Gennem mange fremtidige lektioner i dette kursus for lineær Algebra vil du opdage, at rækkereduktion er et af de vigtigste værktøjer, der er, når du arbejder med Matri equligninger. Sørg derfor for at forstå alle de trin, der er involveret i løsningen til de næste problemer.,ear equations into an augmented matrix we obtain the matrix equation:

    Equation 10: Resulting augmented matrix

  • Equation 11: Row reducing the augmented matrix
  • We can clearly see from the resulting matrix that −y=−5-y=-5 \; −y=−5 meaning that y=5y=5 \; y=5 .,synge Gauss elimination:
    Ligning 14: System af lineære ligninger med tre variabler

  • For det system, vi ved, vi vil få en udvidet matrix med tre rækker (da systemet indeholder tre ligninger) og tre kolonner til venstre for den lodrette linje (da der er tre forskellige variabler)., I dette tilfælde går vi direkte ind i rækkereduktionen, og så er den første Matri., du vil se på denne proces, den, du får ved at transkribere systemet med lineære ligninger til en forstørret Matri..,

    • Ligning 15: Træk reducere den udvidede matrix

    læg Mærke til, hvordan vi kan fortælle det samme, at den variable z er lig med nul for dette system, da den tredje række i den resulterende matrix viser ligningen -9z = 0., Vi bruger denne viden og kontrollerer den anden række i Matri theen, som ville give ligningen 2y – 6. = 0, ved at tilslutte værdien af 0 = 0 \, i den ligning resulterer i y \, som også er nul. Således erstatter vi endelig begge værdier af y og \ \ i ligningen, der er resultatet af Matri theens første række: + + 4y + 3. = 1, Da både y og \ \ er nul, så giver dette OS = = 1.,

  • Vi transskribere det lineære system som en udvidet matrix og derefter starter vi Gauss-eliminering:
    Ligning 18: Træk at reducere den udvidede matrix
  • som vi kan se, at den sidste række, giver ligningen: 6z = 3, og derfor z = 1/2.,:

    Equation 21: System of linear equations with two variables

  • Transcribing the linear system as an augmented matrix and row reducing:
    Equation 22: Row reducing the augmented matrix
  • Which automatically tells us y = 8., Og så erstatter vi denne værdi i ligningen fra den første række: 4. – 5y = 4. – 5(8) = 4. – 40 =-6 4. = 34 \, og derfor er værdien af.:. = 172\frac{\small17}{\small2} 217., id=”1fd4b2067c”>

    Ligning 24: System af lineære ligninger med tre variabler

  • Konvertering af system af ligninger i en udvidet matrix og derefter række reducere:
    Ligning 25: Træk reducere den udvidede matrix
  • Fra den tredje række i den resulterende matrix vi ved, at z = 3.,gcaption>Ligning 26: Løse for x og y
  • Og så den endelige løsning på det system af lineære ligninger er:
    Ligning 27: Endelige løsning på det system af lineære ligninger
  • for At færdiggøre vores lektie til i dag har vi et link henstilling til at supplere dine undersøgelser: Gauss elimination en artikel, som indeholder nogle ekstra oplysninger om træk reduktion, herunder en introduktion til emnet og nogle flere eksempler., Som vi nævnte før, være klar til at fortsætte med at bruge række reduktion for næsten hele resten af dette kursus i lineær Algebra, så vi ser dig i den næste lektion!

    Skriv et svar

    Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *