Chaostheorie (Deutsch)

Komplexe quadratische Polynome

Ein komplexes quadratisches Polynom ist eine quadratische Standardgleichung, bei der die beteiligte Variable eine komplexe Zahl sein kann. Ein besonders einfaches Beispiel ist das Polynom

f(z)=z2+cf(z) = z^2 + cf(z)=z2+c

Fraktale bekannt als der Mandlebrot gesetzt. Die komplexe quadratische Karte konvergiert überall dort, wo das Diagramm schwarz ist,und divergiert entsprechend der Intensität der Farbe an anderer Stelle. Von Wolfgang Beyer, CC BY-SA 3.,0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=321973

Rössler attractor

Der Rössler attractor bezieht sich auf ein dynamisches System,das durch den folgenden Satz von ODEn erster Ordnung in drei Dimensionen gegeben wird:

für a,b,ca,b,ca,b, c reale Parameter. Es ähnelt der bekannten chaotischen Karte namens Lorenz Attractor, obwohl mathematisch einfacher. Insbesondere wurde der Rössler-Attraktor zur Untersuchung von Gleichgewichten in der Reaktionschemie verwendet.

Doppelpendel

Das Doppelpendel ist eines der einfachsten Szenarien in der Physik, in denen sich chaotisches Verhalten manifestiert., Hamiltons Bewegungsgleichungen für das Doppelpendel ergeben vier gekoppelte gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung, was eine ausreichende Bedingung für Chaos ist. Die folgende Animation zeigt die höchst unvorhersehbare Entwicklung des Doppelpendels bei einer bestimmten Anfangskonfiguration.,

Hénon map

Die Hénon Map ist eine diskrete Map auf der Ebene, die durch die Menge der Rekursionsbeziehungen gegeben wird

xn+1=1−axn2+ynyn+1=bxn\begin{ausgerichtet}x_{n+1} &= 1 – ax_n^2+y_n \\ y_{n+1} &= bx_n\end{aligned}xn+1yn+1=1−axn2+yn=bxn

Gekoppeltes Kartengitter

In einem Kartengitter wird ein diskretes Array von Punkten indiziert und in einem Gitter angeordnet, und jeder Standort kann sich entsprechend einer bestimmten Art von Rekursionsbeziehung entwickeln. In einem ungekoppelten Kartengitter entwickelt sich jeder Standort unabhängig, z., von

xn+1=rxn(1−xn),x_{n+1} = rx_n ( 1-x_n),xn+1=rxn(1−xn),

wo rrr einige parameter. In a coupled map lattice, die Rekursion für die ithi^\text{th}ith Website hängt nicht nur von der Vorherige Wert an, dass die Website, sondern auch angrenzende Website:

Der parameter ϵ\epsilonϵ gibt den Grad der Kopplung; als ϵ→1\epsilon \to 1ϵ→1 die Karte Gitter wird abgekoppelt, und als ϵ→0\epsilon \to 0ϵ→0 die Karte wird maximal gekoppelt. Kartengitter sind zunächst interessant, da sowohl ungekoppelte als auch gekoppelte Kartengitter chaotisch sind, obwohl gekoppelte Kartengitter eine viel reichhaltigere Struktur aufweisen., Zweitens wurden sie jedoch verwendet, um Wechselwirkungen zwischen benachbarten Chemikalien im Weltraum sowie elektrischen Schaltkreisen zu modellieren.

Vierzig verschiedene Seeds eines nicht entkoppelten Kartengitters mit jeweils einem anderen Wert von rrr. Farbe gibt den Wert des Punktes im Array an, der von einem bestimmten Punkt auf dem Gitter indiziert wird. Die Karte ist chaotisch und in keiner Iteration ist eine bestimmte Struktur vorhanden. Durch Travdog8 – Eigene Arbeit, CC BY-SA 3.,0, https://en.wikipedia.org/w/index.php?curid=22892411

Chaotisches Mischen

In chaotischem Mischen werden Mengen wie Dichte, Viskosität oder Temperatur gemessen, die den Fluss einer Flüssigkeitsmischung fraktalartig verfolgen. Solche Flüssigkeiten werden durch ein System von ODEn erster Ordnung geregelt. Für ein Fluid, das durch die Navier-Stokes-Gleichungen in drei Dimensionen geregelt wird, gibt es ausreichende Freiheitsgrade, damit der Fluidfluss chaotisch ist.,

Ikeda Karte

Der Ikeda-Karte ist eine diskrete komplexe Karte gegeben durch die Rekursion

zn+1=A+Bznei(∣zn∣2+C),z_{n+1} = A + Bz_n e^{i\left(|z_n|^2 + C\right)},zn+1=A+Bznei(∣zn∣2+C),

für einige Parameter A,BA,BA,B, und CCC. Es ist ein Modell, das in der Physik für eine Reihe von Impulsen von Laserlicht verwendet wird, die in einem nichtlinearen Medium interagieren, das als optischer Resonator bezeichnet wird. Der Parameter BBB kennzeichnet, wie verlustbehaftet der Resonator ist.,

Standard-Karte

Die standard-Karte ist ein dynamisches system definiert als eine Rekursion Bezug auf den Platz, das ist

pn+1=pn+Ksin⁡(θn)θn+1=θn+pn+1\begin{aligned}p_{n+1} &= p_n + K \sin (\theta_n) \\\theta_{n+1} &= \theta_n + p_{n+1}\end{ausgerichtet}pn+1θn+1=pn+Ksin(θn)=θn+pn+1

mit pnp_npn, θn\theta_nθn modulo 2π2\pi2n und KKK einige Konstanten., Es beschreibt die Dynamik und den Winkel des Teilchens beschränkt sich auf ein ring, der Erfahrungen regelmäßigen Tritte in eine bestimmte Richtung der Kraft KKK, das heißt, ein Teilchen gehorchen die hamiltonfunktion

H=p22+Kcos⁡(x)∑nδ(t−n)H = \frac{p^2}{2} + K\cos (x) \sum_n \delta (t – n)H=2p2+Kcos(x)n∑δ(t−n)

mit der zusätzlichen Einschränkung, dass die Dynamik periodisch sein. Dieses System wird als getreten Rotator und die konstante KKK als Trittstärke bezeichnet., Es entsteht bei der Untersuchung von periodisch getretenen Systemen und ist daher besonders nützlich in der Physik mit Teilchen, die auf einen Ring beschränkt sind, wie Beschleuniger-oder Plasmaphysik.

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